断层或断裂带在地震过程中的作用很早就为人们所认识.然而在地震研究中孤立地研究断裂带是不够的，断层的破裂和地震波的产生是由贮存在断层两盘围岩里弹性能量的释放所驱动的.因此，研究断层地震的孕育和发生过程必须考虑含断层和围岩的整个岩石力学系统.从固体力学角度用准静态方 法研究断层地震的机制和地震前兆是有重要意义的.

Stuart(1979a,1979b)首先提出用准静态力学方法来研究地震稳定性，并建立了应变软化的地震不稳定性模型，得出了一些重要的结论.殷有泉等(1984)在一个包含断层带和围岩的统一力学系统内研究地震稳定性，用变形体力学方法建立了由于断层带介质的应变软化导致地震发生的严谨力学模型.最近，李平恩等(2009)基于断层面强度的非均匀性，从细观力学角度，用统计力学方法推导出了理论的断层带载荷-位移全过程本构关系.在此基础上，考虑断层为直立走滑型，采用稳定性理论详细探讨了由于断层软化导致的地震不稳定性问题.研究表明，系统刚度比(围岩刚度与断层刚度之比)β是影响地震发生的重要参数，只有当β<1时才发生地震，应力突跳发生在平衡路径曲线的位移转向点，并伴随应力降和围岩应变能的释放.当β≥1时，仅仅是断层的缓慢无震滑动，不会发生地震.

以上讨论均是针对直立走滑型断层地震，而实际断层大多是倾斜的，为了研究倾斜断层地震的稳定性，我们首先建立了由围岩和倾斜断层构成的平面地震力学模型.在此基础上，分别采用断层弹性-软化塑性模型和考虑断层破裂强度的刚塑性模型，分别研究了地震孕育和失稳过程.研究结果表明，与直立走滑型断层地震一样，系统刚度比β是决定地震失稳的关键参数，只有当β<1时才发生地震.在考虑断层破裂强度情况下，当断层倾角大于一临界角度时，断层被闭锁.为了使断层解锁，在远场水平驱动的模型中，围岩上盘还应受到某种向上的垂直驱动作用.

研究地震不稳定性的一个简单力学模型如图1所示，它是由均质围岩和一个倾角为α的断层构成的平面力学系统.系统的右端面不动(坐标原点选在这个端面上)，在左端面上施以不断增大的均布位移a.将断层两盘切向相对位移(断层错距)记为u，断层面内剪应力记为τ，围岩内正应力记为σ，区域长度记为L，横截面面积记为A.并设断层和围岩分别具有初始应力τ₀和σ₀，它们不是独立的，由平衡条件有

图1

Fig. 1

图1 倾斜断层地震不稳定性的简单模型 Fig.1 A simply model for inclined fault earthquake instability study

断层是地壳中的软弱结构面，由于其面内尺度巨大，不能用直接试验方法得到面内应力τ和错距u之间的全过程曲线，即使在室内做小尺度试验，也缺少相似准则将其外推到大尺度的现场情况.在之前的工作中，我们基于断层面强度的非均匀性，将断层面的宏观破裂过程看作是断层局部微元的破裂积累过程，假设断层局部微元强度遵循Weibull概率分布，从统计力学角度推导出了宏观的断层载荷-变形的全过程曲线(李平恩等，2009).在这里，我们采用该本构关系:

设沿断层的错距u也是均匀分布的，即在断层上各点错动是相同的.各点的切向刚度均为

由式(3)可得约束反力P在断层面上的切向分量，易知围岩的切向刚度:

由于围岩变形和沿断层的错距都假设是均匀的，因而系统的平衡条件仅为

引入如下无量纲变量:

本文给出的简单力学模型，以远场位移a作为位移边界条件，所有应力边界条件是齐次的，不考虑重力，因而总势能就是变形能.总势能的表达式为

判断平衡路径曲线上某点的平衡状态是否稳定，则需要讨论总势能的二次变分δ²Ⅱ(ζ)的正负.如果为正，是稳定的平衡状态，如果为负，则是不稳定的状态；如果为0，则是临界状态，需要研究更高阶的变分以判断其是否稳定.总势能的二次变分的正负和总势能对ζ二次偏导数的正负是完全一致的.当∂³Ⅱ(ζ)/∂ζ³=0时，式(20)有极小值，令式(21)为0可求出对应的ζ₁为

对于多自由度系统的研究表明(殷有泉，2011)，系统的稳定性等价于系统的切线刚度矩阵K是正定的，不稳定性等价于系统的切线刚度矩阵是不正定的.对本文的一个自由度的简单系统，稳定性等价于系统的切线刚度为正(K>0)，不稳定等价于系统切线刚度为负(K<0).在断层软化阶段，系统的切线刚度为

现根据式(16)和式(17)讨论平衡路径曲线.取α=45°，m=1，图2给出了刚度比β(1)=0.5, 0.7, 1.0和2.0等四条曲线，曲线的纵坐标是，纵坐标为0的横轴对应于.图2的平衡路径曲线尽管是对m=1情况绘制的，但不失一般性.可以证明，对于m≥1的任何值，系统刚度比β>1、β=1和β<1时，都有形如图2所示的平衡路径曲线.从图2可以看出，刚度比β对曲线的形态有重要影响.在β<1时，曲线上除了一个力的转向点D外,还出现两个位移转向点A和C，在β≥1时，则没有位移转向点.在位移转向点A或C前后，平衡的稳定特性将发生变化.例如，β=0.5时，在转向点A之前路径OA段曲线各点平衡路径是稳定的，而在点A之后的AC段曲线上各点平衡是不稳定的，而在C点之后平衡又是稳定的.

图2

Fig. 2

图2 不考虑断层强度，m=1, α=45°,β取不同值时的平衡路径曲线 Fig.2 Equilibrium path curve when m=1, α=45° and β for different values, without fault strength

总而言之，平衡路径有三个分支：OA分支，AC分支和CB分支.各分支的临界点为A和C.与断层本构曲线拐点相对应的平衡状态记为E，则由公式(16)和公式(17)可计算出这些临界点上的 ,,ζ值，并用式(20)计算出相应的值，这些值列在表1中.可以看出，D点是平衡路径曲线的应力峰值点(力的转向点)，该点>0，是稳定的，平衡路径曲线OD段对应于断层本构曲线的上升段，是稳定的.在DA段，虽然平衡路径曲线下降，但>0，仍然是稳定的，但在此阶段断层错动加速.在A点和C点，均为0，在它们之间的平衡路径曲线AC段上的点的均小于0，因此AC分支各点则是不稳定的.在C点之后一直到B点，平衡路径曲线CB段上各点的均大于0，因此，CB分支点的平衡状态是稳定的.当远场位移达到^*=6.543时，对应于两个可能的平衡状态：A点(ζ=1.232)和B点(ζ=6.384).在远场位移达到^*时，如果能控制位移使其降低，则平衡点才能沿分支AC运行.但实际上这是做不到的.这时平衡状态突然地从点A跳到点B，相应地，变量ζ突然地由ζ_A=1.232发展到ζ_B=6.384，应力突然地由τ_f－τ₀=0.359下降到τ_f－τ₀=0.011，这表示地震发生了.

表1(Table 1)

表1 断层无初始强度模型(m=1,α=45°)各转向点相对应的参数值 Table 1 Parameter corresponding to each turning point (m=1,α=45°), without initial fault strength 转向点 ζ 断层启动点O 0.0 0.0 0.0 1.0677 力的转向点D 1.0 6.437 0.368 0.0677 点A- 1.20 6.541 0.361 0.007 位移转向点A 1.232 6.543 (*) 0.359 0.000 点A+ 1.30 6.536 0.354 -0.014 点E 2.00 6.000 0.2707 -0.068 点C- 3.60 5.054 0.098 -0.003 位移转向点C 3.678 5.0517 0.093 0.000 点C+ 3.70 5.0518 0.091 0.0009 突跳后的点B 6.384 6.543 (*) 0.011 0.059 注:上标“+”和“－”分别表示该字母代表的点的右邻域点和左邻域点(下同).

表1 断层无初始强度模型(m=1,α=45°)各转向点相对应的参数值 Table 1 Parameter corresponding to each turning point (m=1,α=45°), without initial fault strength

从表1数据可看出，ζ是单调上升的，表示错距 u是不可逆的.远场位移从O点开始到A点是单 调增加的.从A点开始单调下降，到C点后又开始单调增加，到B点后恢复到A点值，然后又单调增加.实际地震过程中，在A点发生应力突跳，直接跳到B点，因此，实际远场位移也是连续上升的.

地震失稳时的平衡状态A并不对应于断层本构曲线的拐点，而是对应于本构曲线下降段拐点前的某个点，失稳发生在平衡路径上断层切线刚度等于围岩切线刚度的第一个位移转向点A上.在失稳前的DA阶段，断层错动加速，是失稳的前兆.如果β>1，则断层本构曲线下降段上所有点的切线刚度均大于围岩切线刚度，不会发生地震失稳.当β=1时，则只有断层本构曲线拐点处的切线刚度等于围岩切线刚度，这是一种临界状态，也不会发生地震失稳.这种地震不稳定性显然是极值点型(指位移极值点)和突跳型(指应力突跳)的不稳定性.由状态A突跳到状态B，曲边三角形ACB的面积表示在远场位移为^*时，突跳过程围岩释放的能量.这个能量的大部分转化为断层摩擦滑动产生的热(塑性功)，小部分转化为动能，对应于地震波的能量.

地震过程的三个重要参数是地震后断层错距，地震应力降和释放的弹性能，它们分别是

当β≥1时，不会发生地震，仅是缓慢的断层滑动，属于无震滑动.

通过上述简单的地震模型，可以看到，地震不发生在峰值应力(应力转向点)下，而是发生在其后的位移转向点处.这表明地震属于位移形式的极值点失稳，并伴有应力突跳(应力降).

在前面两节讨论的模型中，远场一旦施加位移a，无论a多么小，断层同时产生错动.这可能与实际情况不符，这是因为没有考虑断层受力达到足够大数值时才能破裂.断层是有初始强度的，断层面内剪应力τ_f达到一定数值时才发生破裂.

断层面破裂通常是压剪性破裂，一般采用具有压力相关性的Coulomb型的破裂准则，它的剪切强度是

由式(28)或(29)分别对u求二阶偏导数并令其为0可得强度曲线在拐点处的横坐标(错距)为

0时，整个系统处于弹性状态；在a≥a₀，断层发生错动，系统进入非线性状态，换句话说，a=a₀是断层解锁的远场条件.

当a0时，断层错距u=0，系统变形仅有围岩的弹性变形：

远场的约束反力为

当a>a₀时，断层错动u>0，围岩应力σ和断层应力τ分别是

系统的平衡条件为式(12)，联合式(39)—(40)，式(12)和式(3)可得远场边界位移a和相应的支反力P是

引入无量纲变量：

则式(38)可改写为

其中，由式(34)和式(43)，有

由式(34)和式(36)，无量纲化后的断层开始错动时的远场位移为

式(41)和式(42)可分别改写为

实际上，式(45)是a0线性阶段的平衡曲线，式(47)—(48)是a≥a₀非线性阶段的平衡路径曲线，每一个参数ζ对应于非线性路径上的一个点，代表一个平衡状态.

总势能的表达式为

当a< a₀时，断层尚未解锁，因此不会地震失稳.失稳只能发生在断层解锁后，即a≥a₀的阶段.因此，对总势能的讨论仅限于式(49)的第二式，利用式(43)，无量纲化后的总势能为

总势能对ζ的二阶和三阶偏导数分别为

与前一节类似，当=0，式(51)有极小值，令式(52)为0可求出对应的ζ₂为

将(53)式带入式(51)，可得的极小值为

由(54)式可知，对于任意m≥1，当β≥1时，恒为非负，平衡路径上的每一点都是稳定的.当β<1时，与前一节相同，有两个位移转向点，在两个转向点之间，<0恒成立，因此该平衡路径曲线分支是不稳定的，在第一个转向点会发生地震失稳.与不考虑断层强度的情况相同，如果考虑断层面破裂强度，系统刚度比β仍然是决定地震稳定性的关键参数，地震失稳的条件是β(m)<1.

如果横坐标取 ，纵坐标取，与前一节不同，本节的平衡路径曲线是由式(44)和式(47)—(48)分段给出的.在线弹性阶段平衡路径曲线的终点即为非线性阶段的起点.由式(44)可知，线性阶段，平衡路径曲线是过坐标原点的直线，斜率为 . 由式(47)—(48)可知，非线性阶段的起始点坐标值为

由式(55)和式(56)可得非线性阶段的起始点与坐标原点的斜率，正好是式(44)的K.由式(44)和式(46)，可算出线性阶段的终点坐标值，与式(55)—(56)完全一致.因此，由式(44)计算的线性阶段的终点和由式(46)—(47)计算的非线性阶段的起始点是重合的.整个平衡路径曲线是连续的.

取α=45°，m=1，对于不同的刚度比β，平衡路径曲线如图3所示，可以看出，与图2一样，刚度比β对曲线的形态有重要影响.当β<1时，曲线上有两个位移转向点A和C，当β≥1时，没有位移转向点，在位移转向点前后，平衡的稳定特性将发生变化.例如，当β=0.5时，D是断层的启动点，A，C是两个位移转向点.由式(47)—(48)可计算出这些临界点上的 ,,ζ值，并由式(51)计算出相应的值，这些值列在表2中.由式(47)—(48)易知，断层启动点D同时也是应力转向点.两个位移转向点A，C将平衡路径分为三支，第一支为OA，它包括线性阶段OD和非线性阶段DA，线性阶段OD是稳定的，非线性阶段DA上的各点>0，是稳定的，因此OA分支是稳定的.第二个分支是AC，在A点和C点，均为0，在它们之间的平衡路径曲线上的点均小于0，因此AC分支是不稳定的.第三个分支是CB，因为在第二个位移转向点C点之后，均大于0，因此，该分支是稳定的.平衡路径曲线在第一个位移转向点A处失稳，由A点值0.95突然下降至B点值0.0027.也就是说，在A点发生地震， 远场约束反力下降为0.95， 而断层错距Δζ= ζ_A－ζ_B=3.12，释放能量对应于图中阴影线的面积，它的数值可按不考虑断层破裂强度模型类似的方法计算出来，ΔU=－0.55.β≥1情况对应于断层的无震滑动.

图3

Fig. 3

图3 考虑断层强度，m=1, α=45°,β取不同值时的平衡路径曲线 Fig.3 Equilibrium path curve when m=1,α=45° and β for different values, with fault strength

表2(Table 2)

表2 与考虑断层强度模型(m=1,α=45°)各转向点相对应的参数值 Table 2 Parameter corresponding to each turning point (m=1,α=45°), with initial fault strength 转向点 ζ 断层启动(力的转向)点D 0.0 3.297 1.0 0.303 点A- 0.318 3.453 0.951 0.001 位移转向点A 0.319 3.453(*) 0.950 0.000 点A+ 0.320 3.453 0.950 -0.001 点C- 1.920 2.442 0.158 -0.001 位移转向点C 1.922 2.442 0.158 0.000 点C+ 1.925 2.442 0.157 0.001 突跳后的点B 3.444 3.453(*) 0.0027 0.294

表2 与考虑断层强度模型(m=1,α=45°)各转向点相对应的参数值 Table 2 Parameter corresponding to each turning point (m=1,α=45°), with initial fault strength

由破裂准则式(26)，当τ<τf时，断层被闭锁，不会滑动.由断层面法向平衡方程，易知

由关系式(11)—式(57)和式(26)，这时有

由上式可得断层闭锁条件为

其中，φ=tg^－1μ为摩擦角，也是材料参数.朱守彪等(2009)在汶川地震模拟论文中，μ取0.6左右，摩擦角φ约为30°，由式(59)知，当断层倾角大于60°时，断层被闭锁.因此，对于高倾角的逆冲断层，使用压力相关性模型，除远场的水平驱动作用外，在围岩上盘还应具有某种向上的垂直驱动作用，才能使断层解锁.这种垂直力应该是永久性的，与该地区的深部构造环境密切相关.就汶川地震而言，青藏高原下地壳软物质从高原中心向外逃逸，部分东流物质被四川盆地阻挡，在龙门山及附近地区聚积，从而形成对龙门山断裂带上盘的垂直向上驱动作用，这种作用力可能是造成龙门山断裂带解锁的一种重要因素.在由式(58)给出的断层闭锁情况下，如果在围岩上盘施加垂直向上的作用力σ_⊥(正值表示垂直向上)，由平衡条件和破裂准则容易推导得到，当

时，断层解锁.

由式(60)知，当断层满足闭锁条件式(58)时，需要在断层上盘施加的垂直向上作用力σ_⊥为正值，具体大小由式(60)计算得到.而当断层本身处于解锁状态(即sin2α(σ/2)>c₀+μ₀sin²ασ)时，式(60)的右端项为负值，如果存在上盘垂直向上力σ_⊥>0，式(60)恒成立，断层仍然处于解锁状态.因此，围岩上盘的垂直驱动作用有助于断层解锁.

根据本文模型和式(58)，可以得到如下推论：(1)一般的，如果只有一条逆冲断层，则高倾角的逆冲断层，有利于积累较大的能量，孕育震级较高的地震；(2)实际发生地震的断裂带大多由若干条具有不同倾角的子断层组成，如果各子断层的摩擦系数大致相同，则倾角小的断层首先解锁进入滑动状态；(3)只有一条处于闭锁状态的高倾角逆冲断层，但下盘内部存在相对薄弱的微裂隙，如果断层系统的应力状态超过下盘微裂隙所能承受的破裂强度，则这些微裂隙有可能会先于闭锁的断层系统破裂，并且会选择一条缓倾角的路径，从而形成新的逆冲断层.

本文介绍的地震不稳定模型是一个自由度的，尽管简单，却足以说明地震孕育和发生的本质问题.地震的发生是岩石力学系统的一种位移极值点型失稳，并伴有应力突跳.从系统的平衡路径曲线来看，在临界点(远场位移^*)之前，是稳定分支，是地震孕育阶段，此间围岩变形能大量储集，变形是渐变的.在临界点，发生失稳，同时系统发生突变(远场位移 并未突变，是连续的)，应力、断层错距，能量均发生突变，可以得到地震震级、应力降、位错突变等量的大小数值，这些都是可以和地震资料对比的.因此地震不稳定模型能反映地震从孕育到发生的从渐变到突变的物理过程.

地震发生在平衡路径曲线的位移转向点，而不是应力转向点(广义力的极值点)，这是由于系统是由远场位移驱动的，而不是由远场应力驱动的.这是与地球动力学认为远场板块是恒速运动相一致的.在远场边界提位移形式，不提应力形式的边界条件，这是对认识地震具有本质上的意义的.因此系统在平衡路径曲线的应力转向点附近是稳定的，在应力转向点到位移转向点之间，断层错动和附近围岩变形都是加速的，由此可以研究地震发生的前兆.这方面的工作在Stuart(1979a,1979b)的论文中得到体现.

地震的破裂应该是一个动态过程，但是从地震孕育一直到断层解锁开始破裂瞬间这个时间段内，断层的运动是缓慢的，可以视为准静态状态，因此采用准静态方法进行研究是适用的，本文的研究重点正是这一阶段系统的变化.在断层解锁破裂之后，伴随能量的释放有地震波的产生和地面运动，这是一个动态过程，准静态方法不再适用，必须采用动力学的方法来研究，这部分内容已经超过了本文的研究范畴.就实际地震来说，其发震断层往往是由若干条断裂带组成的，断层破裂一般也不是在瞬时完成的，而是在断层带的某点(部分)首先破裂，然后沿断裂带在空间上连续破裂.这一动态过程也需要建立相应的模型来讨论.

接近实际情况的地震模型都是多自由度的，需要用数值方法(例如有限元方法)进行模拟研究.

本文首先建立了由围岩和倾斜断层构成的平面地震力学模型，以远场位移为控制变量.在此基础上，分别采用断层非线性全过程曲线(压力无关性)和基于Coulomb破裂准则的考虑断层破裂强度的本构关系(压力相关性)，用稳定性理论研究了地震不稳定性问题.研究表明，对于倾斜断层地震，与直立走滑型断层地震一样，系统刚度比β是决定地震失稳的关键参数，只有当β<1时才发生地震，β≥1时，不会发生断层失稳，仅仅是断层的无震滑动.在远场采用位移边界条件，致使地震发生在平衡路径曲线的位移转向点，并伴有应力突跳(应力降)现象.