2010, Vol. 53
2. 中国科学院动力大地测量学重点实验室, 武汉 430077;
3. 中国科学院研究生院, 北京 100049
2. Key Laboratory of Dynamic Geodesy, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430077, China;
3. Graduate University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China
研究表明, 大地震激发除能产生涉及地球局部运动的体波和面波外, 还将激发全球规模的地球自由振荡.由于地球自由振荡的频率与地球内部的结构有密切的关系, 我们可以利用大地震期间记录的地球自由振荡的反演来研究地球内部的密度和拉梅参数等重要参数.另一方面, 如果我们对地球内部结构具有比较详细而可靠的了解, 就可以通过求解地球的弹性运动方程理论上推求各阶次自由振荡简正模的频率.将观测到的和根据各种地球模型计算得到的地球自由振荡周期比较, 又获得了另外一种独立于地震体波研究地球内部物理参数随深度变化的方法.地球自由振荡研究已成为研究地球内部结构的重要手段之一, 它对探求地球内部结构的作用表现在, 将地球自由振荡的观测值与模型给出的理论值进行比较, 利用反演方法, 可以进一步改善原有的地球模型, 以更好地研究地球的内部特征[1].地球自由振荡存在两种基本振型, 即球型振荡和环型振荡.在不考虑地球自转时, 球型振荡可以用nSl表示, 其中l和n分别是球型振荡球谐展开的阶数和次数.球型振荡有两种振动方式:基频振荡(n=0)和谐频振荡(n≠0).环型振荡不能在液态外核中传播, 位移无径向分量, 而球型振荡能在整个地球内部传播, 并且能引起地球内部物质密度的变化, 从而能引起重力的变化, 重力仪和应变地震仪等均可记录到这种振荡.因此球型自由振荡简正模的理论计算有其实际的重要应用价值.
通常可将地球自由振荡满足的二阶偏微分方程本征值问题化为一阶常微分方程组的本征值问题[2], 计算机的引入为解算这类本征值问题提供重要手段的同时又产生了新的数值计算问题, 如舍入误差影响、稳定性等问题. Takeuchi和Saito[3]解决了积分初值选取问题, 并提出如果要使积分误差得到控制必须由下向上(即由地心向地球表面)进行积分.在此之后, 我国学者采用数值积分方法曾成功解算了球型自由振荡简正模, 研究了涉及固核-液核-固幔模型(简称SLS模型)的边界问题, 给出了对SLS模型的完整解算方案[4].最近的尝试是严珍珍等[5]利用有限谱元法计算特大地震激发的弹性波在地球内的传播过程, 准确地重现了长周期环型振荡的频率.此外我国学者[6~13]也做了很多检测工作, 得到了一些有意义的检测结果.
本文基于G-D1066A地球模型[14], 采用常微分方程组数值积分的四阶龙格库塔法解算球型自由振荡简正模.计算方案总体与前人的相似, 不同的是考虑了分层密度和拉梅参数变化对地球自由振荡简正模周期的影响, 另外在边界处的联接方法方面也有不同, 选取了更加合理的积分步长和更低的舍入误差.
2 计算原理和方法若顾及相对球对称状态的偏离, 地球的弹性运动方程解算起来是非常复杂的.所幸地球扁率和横向不均匀性的影响是微小量, 作为一级近似, 在将地球看作球对称体的前提下仍然能够得到相当高的精度[15].对于一个以流体静力平衡状态作为初始应力状态的球对称自转地球模型, 可引入8个中间变量将地球弹性运动方程进行简化, 得到一个常微分方程组[16].如果忽略科里奥利力的作用, 这个方程组中的6个变量(球型场变量)与其他2个变量(环型场变量)互相无关, 该方程组化为球型振荡和环型振荡的两个方程组.其中, 与球型振荡相关的6个变量为球型场径向位移y1, 径向应力y2, 切向位移y3, 切向应力y4, 引力位的扰动y5及其径向导数y6.
球型自由振荡所满足的常微分方程组:
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(1) |
方程组的具体形式已在前人的工作中给出[2, 4]. (1)式等号左边右上角的"′"代表对半径的一次导数, 右边括号内r代表半径, σ为角频率, λ和μ为拉梅参数, ρ为密度.需要注意的是, 方程组(1)只适用于固态介质(内核, 地幔).对于外核, 则有μ=0, 因而必有y4=0, 此时方程组蜕化为只包含分别关于y1、y2、y5和y6的4个常微分方程以及作为条件, 关于y3的1个非常微分方程.对于纯球型解(l=0), y3=y4=0, 方程组(1)在内核、外核和地幔中蜕化为统一形式, 求解过程与解环型振荡简正模nTl的情况完全一样, 具体过程可参考文献[17].
在解算过程中, 由于r, ρ和μ的单位相差悬殊, 我们采用规格化进行计算, 才不致在计算中产生困难.假定半径r以地球半径a=6. 371×108cm为单位, ρ及μ则分别以地球中心的参数为单位, 以ρ*和λ*代表, 并且设y1=aZ1, y2=λ*Z2.重力的基数为g*=λ*/(aρ *).于是将各自变数y1, …, y6改写为Z1, …, Z6如下:
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(2) |
G-D1066A模型对应的以上各基数具体数值及所需换算已在杨兆等[17]的文章中给出.
对于球型振荡来说, 主要的间断面是内核-外核边界(IOB)和核幔边界(CMB)和地表.在IOB和CMB上的边界条件, 或称连续条件:
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(3) |
其中c, b分别为IOB和CMB的半径.地球表面的边界条件:
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(4a) |
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(4b) |
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(4c) |
(4c)式中第一项的系数应该是(l+1)/a, a是地球半径, 所以在地表上相对半径为1.注意到r=0是方程组(1)的奇点, 从物理意义出发必须补充3个正则条件:
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(5) |
对于固体地球模型或外核-内核模型, 从地心向上积分时, (4)式和(5)式给出了(1)式精确到一任意常数的唯一解.注意到内核与地幔中的运动方程完全一致, 于是在内核内的完整解必须是3个满足正则条件(5)的独立解的线性组合:
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(6) |
{Zi1}、{Zi2}、{Zi3}代表 3个线性无关的解向量, C1、C2、C3为待定常数.
在解算过程中, 我们通过数值积分, 到达内外核边界处.由于外核内μ=0, 微分方程减小到4个.在这里我们只能是由这3个独立的解向量求出满足Z4=0的两个独立解向量, 本文中以Zi1和Zi3表示, 并对这两个解向量在外核内进行数值积分.在推算能够满足3个边界条件的本征频率时, 至少应该有三组数据.因此在核幔边界处, 除了由地心起算值推算过来的两个线性无关的解向量外, 还要再增加一个解向量Zi4(待定常数为C4), 作为起算值向外推算.这三组线性无关的解向量推算到地球表面时, 得到齐次方程组:
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(7) |
(7)式有非零解的充要条件是系数行列式为零, 最后得到决定本征频率的特征方程:
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(8) |
其中Z7j(a)=(l+1)Z5j(a)+Z6j(a), j=1, 3, 4.
上述方法与方明的方法[4]在边界的联接方法上有所不同.方明在内外核边界处采用建立一个约束条件方程的方式, 让三组初始解都继续传播, 最后得到的特征方程是一个四阶行列式.本文最后求解的是三阶行列式, 计算过程较简单.此外结合本文的第3节及第5节内容, 考虑地幔、外核和内核等不同分层密度和拉梅参数的变化对简正模周期影响的差别, 采取不同的分层方式进行解算.例如解算10阶以上基频振型时地核内增设的节点数比解算10阶以内的少, 经验证, 计算简化的同时, 结果具有很好的稳定性及较高精度.
3 球型场变量在地球内部的径向分布及讨论球型场各变量的物理意义不同, 受密度和拉梅参数变化的影响各不相同.了解这6个变量特别是其中的球型场径向位移Z1、径向应力Z2、切向位移Z3、切向应力Z4及引力位的扰动Z5在地球内部不同深度的分布, 对于球型自由振荡的研究是很有实际意义的. 图 1~5给出了2~10阶基频振型的变量随深度的分布情况, 图中横坐标的值代表相对半径, 在地心时等于0, 在地表时等于1.纵坐标的值都是以地表处Z1=1进行归一化后得到的相对值.
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图 1 径向位移在地球内部的分布 Fig. 1 Distribution of radial displacement in Earth′s interio |
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图 2 径向应力在地球内部的分布 Fig. 2 Distribution of radial stress in EarthS interior |
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图 3 切向位移在地球内部的分布 Fig. 3 Distribution of lateral displacement in Earth's interior |
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图 4 切向应力在地球内部的分布 Fig. 4 Distribution of lateral stress inEarth/s interior |
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图 5 引力位的扰动在地球内部的分布 Fig. 5 Distribution of potential perturbation in Earth's interior |
图 1给出径向位移Z1在地球内部的分布, 从图中可以看出, 在低阶的情况下Z1变化较大, 超过9阶, 则变得比较规则, 且阶越高, 越向地球上层集中. 2~5阶时, Z1的最大值发生在核幔边界附近, 7阶以上最大值发生在上地幔附近, 10阶时内核内的Z1已极为微小. 图 2给出径向应力Z2在地球内部的分布, Z2有两个明显的峰值, 且随着波阶号的增高, 核幔边界处的峰值越来越接近于零, 而地幔内的峰值逐步向地幔上部集中.
图 3给出切向位移Z3在外核及地幔的分布.在低阶时, 切向位移的变化较明显, 超过10阶时, 其数值本身就已很微小, 因此变化更小.外核的存在不仅使得外核内不存在切向应力, 也使得内核中的切向应力被隔离, 因此图 4只给出切向应力Z4在地幔中的变化.随着波阶号的增高, Z4变化明显的区域由地幔下部向地幔上部集中.引力位的扰动Z5只有在低阶的情况下比较明显, 高于9阶时Z5本身就极微小, 变化更微小.
球型场各变量在地球内部的分布情况可作为研究特定阶次简正模时的参考.
4 球型振荡本征周期的计算结果及讨论Gilbert和Dziewonski根据全球地震台网(WWSSN)的观测资料分析出大量的各阶、次简正模, 并且由此反过来推算出十分详细的地球内部密度和拉梅参数分布表, 通常称为1066A地球模型和1066B地球模型.两者的初始模型分别是508模型(Gilbert和Dziewonski 1973)和B1模型(Jordan和Anderson 1974)[14].本文采用G-D1066A模型, 选取三组线性无关的解向量进行数值积分, 在数值积分的过程中考虑了步长选择、插值方法及舍入误差等影响, 计算了187个球型振荡简正模的本征周期. 表 1中列出了本文计算的0S0~0S48周期的理论值, G-D1066A模型[14], Derr模型[18]和Jordan[19]等模型的理论值, 以及Ness[20], Derr[18]和Gilbert和Dziewonski等[21]用常规仪器观测到的3组观测值和雷湘鄂等[12]用超导重力仪观测到的一组观测值. 表 1中0S0~0S48分别代表0S0~0S48. 表 2列出了本文计算的2~40阶所有周期大于200s的1~5次谐频振型和相应的Gilbert和Dziewonski (1975)给出的结果[14](简称G-D75).
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表 1 本文结果与其他3组理论值和4组观测值的比较（单位: s） Table 1 Comparison between theoretical results in this paper and previous three theoretical or four observed results (unit: s) |
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表 2 本文结果与G-D75的比较（单位: s） Table 2 Comparison between theoretical results in this paper and G-D75 (unit: s) |
由表 1和表 2可知, 本文计算结果与G-D75比较, 本征周期变化的一般规律为:固定波阶l, 泛音级n越大差别越小, 同时泛音级n固定, l越大时差别越小.最大差别发生在0S3处, 两种结果相差0. 32s.到了l=16时, 差别小于0. 1s, 到了更高阶则不大于0. 05s, 目前还无法找到这种差别的原因.首先我们并不清楚Gilbert和Dziewonski的计算方案, 其次即使计算方案相同, 数值分析上采取的一些步骤, 诸如步长选择、插值方法、舍入误差等仍然会影响计算结果.试验表明, 对0S2用在1066A两节点等分点处增设节点这样不等分步长积分的结果与用样条插值、等积分步长得到的结果相比有0. 06s的差异. 表 2中带有*号的值是Masters等[12]给出的PREM模型理论值, 因为G-D75未给出这些振型的理论值.本文结果与这些值比较, 高于10阶的简正模周期相差2s以内, 而在等于或低于10阶的则相差较大.
为了便于将计算得到的0S0~0S48的周期值与以前这3组理论值和4组观测值进行比较, 在分别计算它们的每一个振型与本文计算结果相对偏差的基础上, 将0S0~0S48依次分成8个振型段(RNM), 对每段内6个振型的相对偏差取平均值得到平均相对偏差. 图 6a给出了与这3组理论值和4组观测值比较得到的平均相对偏差.由于采用同一模型, G-D75与本文的相对偏差最小, 不超过0. 23‰. Derr模型的相对偏差最大, 可达到2. 91‰, Jordan和Anderson模型(简称J-A模型)是采用Derr模型的固态内核, 综合体波、面波频散和自由振荡周期三种类型资料联合反演所得, 与本文结果的平均相对偏差比Derr模型的小, 一般小于1‰, 最大也不超过1. 2‰.本文0S0~0S48振型的结果与G-D75, J-A模型理论值以及雷湘鄂等的观测值的相对偏差通常小于2‰, 最大不超过3‰(图 6b), 有些振型与雷湘鄂的最新观测值相比有一定的差异, 这可能是由于本文计算模型与真实地球在各向异性等方面的差异引起的, 有待进一步研究.
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图 6 本文结果与先前已发表的数值结果的比较 (a)本文结果与先前发表的3组理论值和4组观测值的平均相对偏差(1~8振型段); (b)本文结果与Dziewonski & Gilbert的理论值、Jordan & Anderson的理论值及雷湘鄂等人的观测值的相对偏差(0S0~0S48), 其中左侧第2组柱状图对应于0S2振型. Fig. 6 Comparison betAveen theoretical results in this paper and previous observations or theoretical predictions (a) Average relative deviation of previous observations or theoretical predictions in eight range of normal modes; (b) Relative deviation of Dziewonsld & Gilbert observation or J-A Model predications from 0s0 mode to 0S4:8 mode, 2nd histogram corresponds to 0S2. |
为了检验地幔、外核内核等分层的密度和拉梅参数变化对基频振型周期的影响, 进行了分层计算.从地心开始, 将内核分为4层(1~4层, 每层厚度300km左右), 外核分为4层(5~8层, 每层厚度550km左右), 外加地幔的8层(9~16层, 每层厚度350km左右)共16层, 逐步将各层的密度和拉梅参数分别变化, 以检算这种变化对于基频振型周期的影响.
将各层的密度分别减小2%, 密度变化将使重力发生变化, 必须同时加以变化. 表 3中给出了波阶l=2, 3, 5, 7, 10, 15, 20, 25, 30, 35及40等基频振型周期的变化.从表中可以看出, 一般说来, 密度减小将使本征周期减小, 但是2阶和3阶的本征周期在外核及下地幔有反常现象, 其物理原因有待进一步探讨.密度减小2%时地核(包括内核和外核)的密度变化只对低阶振型产生影响, 特别是内核密度的变化只对2阶基频振型产生影响. 2阶和3阶基频振型周期的最大增量发生在外核最外层, 此处的周期分别增加了6. 32s和2. 72s, 在地幔的最内层周期也是增大的, 再往上则这两个基频振型的周期都因密度的减小而减小, 且总体趋势是越靠近地表影响越大. 7层以内密度减小2%对10阶以上的基频振型周期无影响, 表明10阶以上基频振型的密度影响区域在1066A模型深度3451. 1km以上至地表.同理可以看到15~30阶以上基频振型的密度影响区域在地幔, 35阶以上基频振型的密度影响区域在上地幔.
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表 3 介质密度减小2%引起的本征周期变化 Table 3 Change of eigenperiods aroused from 2 percent density reduction |
将各层的拉梅参数(λ和μ)分别减小2%(外核内μ除外, 因为剪切波不能在外核内传播, μ始终为零).如表 4所示, 剪切模量μ减小2%时, 2阶和3阶基频振型周期的最大变化发生在地幔最内层, 分别增加了4. 58s和3. 44s, 越向地表靠近, 周期变化越小. μ减小对基频振型影响一般规律是, 随着波阶号的增高, 对基频振型周期影响最大的区域逐渐从地幔最上层向地表靠近, 如5阶时最大值发生在第11层, 10阶时是第13层, 30阶时是第15层, 大于30阶时则都在第16层.与μ不同, λ与压缩波有关, 而压缩波能在外核内传播, 因此外核内λ的变化对基频振型周期有影响, 如表 5所示, 外核最外层λ的变化引起了3~10阶基频振型周期的变化. λ减小2%对低阶振型的最大影响发生在第14层(深度范围5388. 3km~5731. 2km), 对10阶以上振型的影响主要集中在上地幔.
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表 4 剪切模量μ减小2%引起的本征周期变化 Table 4 Change of eigenperiods aroused from 2 percent shear modulus reduction |
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表 5 拉梅参数λ减小2%引起的本征周期变化 Table 5 Change of eigenperiods aroused from 2 percent Lame parameter λ reduction |
上述分析说明不同基频振型对应的地球内部密度和拉梅参数的影响区域有较明显的差别, 如0S2的密度影响区域包括内核、外核和地幔, 0S3的只包括外核和地幔, 而15阶以上基频振型的密度影响区域仅限于地幔.以此作为参考, 可以更有效地利用球型自由振荡实测结果来修正地球内部结构参数.另外, 密度和拉梅参数的变化在内核都未引起周期的变化(除2阶在内核最外层增加了0. 01s外), 也表明球型振荡基频振型不适合用于利用地球自由振荡谱线分裂现象分析内核各向异性[22]的研究.
6 结论本文采用龙格库塔数值积分法和G-D1066A地球模型, 获得了较高精度的187个球型自由振荡简正模的本征周期, 包括0~48阶基频振型及2~40阶所有周期大于200s的1~5次谐频振型, 与先前3组模型理论结果及4组观测结果相比较, 相对偏差在0. 3%以内, 其中与G-D75的相对偏差不超过0. 23‰.对地幔、外核内核等进行了细化分层, 讨论了不同分层密度和拉梅参数的变化对简正模周期的影响, 给出了各层的密度和拉梅参数分别改变2%引起的周期变化量, 并着重讨论了密度减小引起的基频振型周期变化情况.数值结果表明, 一般说来, 密度减小将使周期减小.在密度减小2%时, 地核的密度变化只有在低阶时才产生影响, 2阶和3阶基频振型的密度最大影响区域在外核最外层; 密度减小2%从外核的最上层开始才对5~10阶的基频振型周期有影响, 密度减小引起周期减小, 且越靠近地表影响越大; 15~30阶的基频振型周期受上地幔密度变化的影响最大; 对于30阶以上的基频振型, 影响主要集中在上地幔.剪切模量μ减小2%时, 2阶和3阶基频振型对应的最大影响区域在地幔最内层, 越向地表靠近影响越小.随着波阶号的增高, μ变化对基频振型周期影响最大的区域逐渐从地幔最上层向地表靠近. λ减小2%对低阶振型的最大影响发生在第14层(深度范围5388. 3km~5731. 2km), 10阶以上振型的主要影响区域集中在上地幔.本文给出的相关结果可为利用地球自由振荡资料来修正地球内部参数提供参考.
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