感应磁场不仅取决于岩石自身的磁性，还取决于当今地磁场的强度和方向，即使不考虑剩磁影响，地质体或构造引起的磁异常较其同源重力异常也要复杂很多，尤其是地磁纬度较低的地区.磁异常定量或定性的解释中，多以垂直磁化条件下的磁异常为主，如场源深度计算的切线法或磁性界面反演等.化向地磁极（简称化极）能尽量消除斜磁化影响，是航磁资料处理的重要环节，也是磁异常解释的基础. 1957年Baranov^{[1, 2]}提出了化极的概念，利用卷积操作来消除斜磁化对异常形态的影响.Bhattacharyya^[3]通过傅里叶变换实现了波数域化极，快速傅里叶变换算法则增强了其实用化.但频率域化极因子属于放大类型的滤波器，当地磁纬度较低特别是磁赤道处，化极操作在垂直于地磁偏角方向变得极不稳定甚至奇异，干扰被严重放大以致完全淹没异常本身，低纬度特别是磁赤道处的化极效果很不理想^[4].

针对低纬度化磁极困难，地球物理学者研究了不同的技术方法，具有代表性是Hansen等^[5]提出的维纳滤波方法，Keating等^[6]和张小路^[7]也对该方法进行了研究和改进.吴健生等^[8]则采取高阻方向滤波的办法提高化极结果的信噪比.但这些方法本质上没有对低纬度影响进行特殊处理，无法用于磁赤道处化极.张培琴等^[9]立足于改造化极因子来实现低磁纬度化极，使异常形态得到较好的恢复，但姚长利等^{[10, 11]}认为其方法存在较大误差，只适宜定性的地质分析与解释.尽管对化极进行了大量的理论研究工作，但多数化极技术和方法仍不能处理磁赤道处的异常，即通常要求磁倾角不小于10°.稳定实用的低纬度化极计算，特别是针对磁赤道处的化极处理，仍是位场研究中的难点^[4].据目前文献报道，仅姚长利等^{[10, 11]}、Li等^{[12, 13]}和骆遥等^[14]研究者较好地实现了磁赤道处磁异常模型的化极计算.

Li和Oldenburg ^{[12, 13]}从等效源和频率域反演两方面进行了研究，采用最优化方法进行位场反演，前者是针对等效磁源直接求解，而后者则在频率域中进行.但反演中存在超大规模线性方程组求解、约束表达过于复杂等问题，难于应用于大规模面积性资料^[15].此外，频率域反演过程极其复杂，区别于传统位场转换，还没有其他研究者实现Li的类似方法.骆遥等^[14]基于概率成像提出了一种较简便的物性反演方法，实现了低纬度化极，尽管其计算中不需求解方程组，一定程度上改善了处理效率，但用于大面积资料处理仍面临困难.姚长利等^{[10, 11]}则针对频率域化极因子中扇形放大区域分别提出了压制因子和阻尼因子，达到了Li对磁赤道处的理论模型化极效果，这种方法本质上是纯粹数学近似.正如姚长利^{[10, 11]}指出的，低纬度化极计算中或计算复杂，难以用于大数据量，或者控制参数较多，不易操作，参数意义并不明确，并且还没有专门针对磁赤道处水平磁化的化极方法.南海区域是典型的低纬度地区，其中属于我国传统海疆的面积极广，南至曾母暗沙，横跨磁赤道两侧.对南海磁性基底研究中郝天珧等^[16]指出南海以水平分量为主的磁异常化极与否以及是否采用低纬度化极的特殊处理，其差异很大，不经过特殊的化极处理对解释结果将产生较大的影响和误判.因此，开展以磁赤道地区为代表的低纬度化极理论研究，对研究南中国海广大领土的航磁和船磁资料，圈定油气构造具有重要意义，也是南海油气勘探中的一项基础性工作^{[17, 18]}.

针对磁赤道处化极的困难，我们提出“狭义化赤”的概念，并结合低纬度磁异常“倒相”解释方法将其应用于化极处理中，用反演的方式将磁赤道处化极转化为稳定的狭义化赤，实现了磁赤道处（近）水平磁化条件下的稳定化极.

频率域化极处理可以表示为^[19]

(1)

其中，A_e（u，v）是斜磁化条件下异常的频谱，A_p（u，v）是垂直磁化磁异常的频谱，I和D分别是地磁场的倾角和偏角，u、v是x、y方向上的波数，θ=arctan（u/v），i是虚数单位.不难看出，I=0的水平磁化条件下，当θ → D±90°时，频率域化极因子的幅度急速上升，频谱被无限放大，化极因子本身出现奇异，无法获得稳定的化极结果.但考虑到式（1）的另一种形式：

(2)

即将垂直磁化的磁异常（化极结果）通过磁化方向转换处理化为斜磁化下，特别是水平磁化条件下的磁异常却是稳定的---我们称这种转换为“狭义化赤”处理.这里的“化赤”概念不同传统意义，并非泛指将当前的磁化方向化向磁赤道，而仅仅特指从垂直磁化的理论磁异常（化极异常）化向（近）水平磁化磁异常（实测异常）的转换处理，本质上属低纬度化极处理的逆过程.“狭义化赤”的频率域算子可以表示为

(3)

可以看出，“狭义化赤”没有传统意义上化赤处理中存在的不稳定因素，是一种稳定的位场转换.这种“狭义化赤”可以用于检验低纬度化极结果，对化极效果进行数值上的评价.本文则不仅应用其对化极效果进行评价，而是直接通过“狭义化赤”实现对磁赤道区域磁异常的化极.

我们将式（2）两端进行傅里叶逆变换（逆变换的符号定义为F^-1[]），有：

(4)

令

(5)

其中ΔT是磁赤道处异常，F^-1[A_e（u，v）]是通过式（4）“狭义化赤”转换得到的磁异常.如果求得的化极异常F^-1[A_p（u，v）]是可靠的，那么δΔT的数值将很小以至趋近于零.但实际上由化极异常通过“狭义化赤”转换得到的ΔT与实测异常通常是有差别的，δΔT甚至会很大.为此我们采取迭代反演的方式，用δΔT改正化极异常，于是第k+1次的化极异常F^-1[A_p^k+1（u，v）]可以表述为

(6)

其中，

(7)

通过上述过程可以不断改进化极结果，使化极异常F^-1[A_p（u，v）]不依赖于最初结果（初始的化极结果可简单的取为0），从而实现磁赤道处稳定的化极.这种位场反演的思想源于向下延拓的迭代法，迭代法经Xu等^[20]重新介绍和讨论，目前已引起国内地球物理学者的关注.不同的是，延拓中直接采用观测面上的实测值与计算值的差值对下延平面上的位场进行校正，而化极处理中则不能采用实测值与计算值的差值进行校正.这是因为在向上或向下延拓过程中位场的相位不发生任何的变化，其形态能够基本保持不变，仅是相对的幅度在不断变化.但磁化方向的转换不仅会改变异常的幅度并且异常的形态（相位）也会发生重大的改观，因而不能采用实测值与计算值之差对化极异常进行直接校正，这种迭代是不稳定的，并且不会收敛.因而需要进一步考虑采用δΔT的映射f（δΔT）来不断对化极异常进行校正，这是同迭代法延拓的本质区别，如何选取校正值的映射关系是磁赤道处化极成败的一项关键技术.

不难想象理论上差值δΔT的映射关系f应该是化极运算，化极处理可以直接将差值δΔT映射为对化极异常的校正值，但是δΔT中含有的高频信息将比观测的ΔT异常更为丰富，通常无法进行化极处理，即使考虑采用含阻尼或压制因子的化极算子^{[10, 11]}进行化极，也是存在问题的.因为，这种处理又以另一种形式转化为了低纬度化极问题，而不是在解决问题!考虑到本文目的在于解决磁赤道处化极问题，使用的地磁倾角很小，通常不应大于5°，我们采用差值δΔT的180°倒相作为校正值反演化极异常.方迎尧等^[21]通过对大量实测航磁资料研究，分析了不同磁化条件下ΔT、Za、Ha的关系，提出了低磁纬度地区ΔT异常倒相180°的解释方法，应用于低纬度地区航磁资料解释.此外，作为定量计算，郭志宏等^[22]采用通过ΔT剖面负磁异常的“反切”做法，使得传统的计算中高磁纬度区ΔT剖面磁异常场源深度的切线法及系数表可直接用于低磁纬度区，一定程度上解决了低磁纬度地区利用切线法计算ΔT剖面场源深度的问题.可以看出，尽管低纬度地区特别是磁赤道处三度体ΔT异常的“180°倒相”与真正的垂直磁化异常具有一定差距，但无论是异常的形态或是幅度都有一定的恢复，为此我们采用“180°倒相”作为反演过程中的映射关系.尽管这种映射关系相对于真正的化极映射来讲是比较粗糙的，但在迭代过程中会不断得到自适应，实践证明这种极简单的映射操作对磁赤道处化极处理是非常有效的，能在磁倾角较小的低磁纬度地区特别是水平磁化的磁赤道处实现稳定化极，且磁倾角越小、越接近水平磁化其化极效果越理想，这是所有化极方法所无法比拟的.

此外，为了保持反演过程的收敛并加快迭代速度，用式（6）反演时，可以将f（δΔT）乘以一个校正系数C_k（C_k>0），通常校正系数随着迭代次数k的增大要不断减小；考虑到倒相后的异常幅度的恢复及保证迭代过程的收敛，校正系数通常不宜大于2.当δΔT或C_kf（δΔT）较小而满足所需精度时即可以停止迭代，输出化极结果，这是加速反演的另一项关键技术.

我们选取水平磁化的磁性长方体作为理论模型来检验化极效果，模型的长和宽都是20m，厚2m，上顶面埋深1m，模拟64×64网格的总场异常，其中纵、横网格间距均为1 m.该模型最初由Hansen等^[5]提出并使用，其后几乎所有的研究者^{[6, 10~14]}都采用该模型开展低纬度化极研究.图 1a和图 1b分别给出了0°（水平磁化）和90°（垂直磁化）磁化条件下的ΔT异常（不考虑剩磁）.通常的位场转换程序是无法对图 1a进行化极的，我们分别采用Geosoft的Oasis montaj软件和应用本文方法研制的程序对图 1a给出的磁赤道异常模型进行化极.图 1c给出了用Oasis montaj化极的结果，其中磁倾角的控制值采用系统推荐的20°，其他均为默认设置.图 1d给出了本文方法的化极结果，这里采用了固定的校正系数，即C_k≡1.9.可以看出，图 1c由Oasis montaj给出的化极异常与图 1b的理论异常存在着一定的差异，磁异常的形态并没有很好地恢复，特别是旁侧异常的形态与理论结果相差较大，其图像更类似于图 1a化极前异常的倒相；而图 1d给出的化极结果与图 1b的理论化极结果则非常吻合，很好地反映出垂直磁化下的磁场形态，并且在数值上也较一致，这说明该方法用于磁赤道处（磁倾角为0°）化极是准确可靠的.

图 1

Fig. 1

图 1 磁异常理论模型及化极结果 （a）水平磁化的ΔT场；（b）垂直磁化的ΔT场；（c）Oasis montaj的化极结果；（d）本文狭义化赤的化极结果；所有等值线间隔均为5nT. Fig. 1 Total field anomalies and RTP result Total field anomalies at the equator (a) and at the pole (b).Panel (c) shows the RTP field using Oasis montaj.Panel (d) shows the RTP result using our algorithm.The contour interval is 5 nT, respectively.

图 2进一步给出了迭代过程中RMS误差变化情况.我们取

(8)

图 2

Fig. 2

图 2 化极过程中反演迭代的误差 Fig. 2 The relationship between number of iterations and RMS in RTP processing

作为化极结果的评价指标；其中δΔT_i，j是网格点（i，j）处实测异常值与“狭义化赤”异常的差，m和n是两个方向的网格格点数.图 2给出的迭代次数与误差的对应关系可以看出该方法具有极快的收敛速度，当迭代36次时均方误差水平仅为初始时的百分之一（下降了2个数量级），迭代78次时均方误差水平仅为初始时的千分之一（下降了3个数量级）；此外，每次迭代过程中误差随着迭代次数增加而减少，当迭代次数很多误差很小时，仍有较快下降的趋势，这表明化极过程稳定并高速收敛.

应用本文方法对南海某区域磁异常数据进行化极处理，研究区内的磁倾角非常接近零，约为0.1°属磁赤道地区.该区域由跨度引起主磁场方向的变化很小，可直接应用本文方法进行化极.图 3a和图 3b分别为实测的总场磁异常和化极结果.化极后磁异常仍保持稳定，没有出现畸变，但异常的形态和幅度发生了显著的改观.对化极前后的变化，我们难以像理论模型那样知道这种变化的真实性，特别是南海的海盆区存在大洋型地壳而保留了强度很高的剩磁，其强度甚至超过了感磁^[16].由于缺乏其他地球物理资料的约束，我们假设上述异常仅由感磁产生，只考察对感磁的化极效果.整体上观察，化极后主要异常与实测异常存在着较明显的倒相对应关系，大体满足方迎尧等^[21]提出的低纬度磁异常解释方法，但具体的幅度和形态却又不仅仅是简单的倒相关系，这说明在具体的反演过程中修正了简单的“倒相”映射，使化极结果更为精细和真实.为了进一步检验，我们应用“狭义化赤”将图 3b的化极结果转化为实测的总场磁异常（图 4），对化极结果进行进一步评价.对比图 4给出转换结果，可以发现其与图 3a的实测总场磁异常非常吻合，二者的均方误差不超过1.5nT优于资料精度.因此，从位场转换的角度可以认定化极结果可靠.

图 3

Fig. 3

图 3 南海某区域实测总场磁异常（a）及其化极结果（b） Fig. 3 Total field data observed at South China Sea (a) and its reduction to the pole (b)

图 4

Fig. 4

图 4 利用“狭义化赤”由化极结果恢复的磁异常 Fig. 4 Total field map transformed from RTP map by special reduction to the equator

针对低纬度特别是磁赤道处化极不稳定的问题，提出“狭义化赤”这一低纬度化极处理的逆过程，并引入低纬度磁异常“倒相”解释方法，通过“狭义化赤”这种稳定位场转换与评价方法，实现低纬度地区特别是磁赤道处磁异常的化极处理.区别于传统化极特别是目前所有低纬度化极方法，该方法能在磁倾角较小的低磁纬度条件下（其他低纬度条件，如10°左右的磁倾角条件下仍有待讨论）特别是磁赤道处实现稳定化极处理，且磁倾角越小越接近水平磁化，其化极效果越理想.对于其他低纬度磁测资料可以预先进行通常的化赤处理，对化赤后的数据再进行化极；同时，也可以直接将这种化极方法用于已有的化赤资料，改善化赤资料或化赤处理在航磁解释中应用不足的现状.本文提出的化极方法原理简单、效果明显，更易于在现有位场转换程序中实现.理论模型和实际资料处理表明这种针对磁赤道处磁异常化极处理的方法是准确可靠的，且理论效果优于国际通用的商业地球物理软件Oasis montaj.该方法有望在我国南海地区油气勘探中为磁异常解释特别是磁赤道地区的磁异常解释中发挥积极的作用.

感谢三位匿名审稿专家对本文提出的宝贵建议和意见，以及中国国土资源航空物探遥感中心的一贯支持.